Тема 8. Решение логических задач. (2 урока).
Часть 1-я.
Цели урока:
1) научиться применять полученные знания в решении логических, экономических и других подобных задачах
2) развивать логическое мышление
3) воспитывать интерес к предмету.
Ход урока.
I. Орг. момент.
II. Повторение
III. Новая тема.
Большой интерес вызывают логические задачи, в которых приходится распутывать противоречивые сведения или показания.
Задача 1.
На конгрессе встретились четверо ученых: физик, биолог, историк и математик. Каждый учёный владел двумя языками из четырёх (русским, английским, французским и итальянским), но не было такого языка, на котором могли бы разговаривать все четверо. Есть только один язык, на котором могли вести беседу сразу трое. Никто из учёных не владеет и французским, и русским языками. Хотя физик не говорит по-английски, он может служить переводчиком, если историк и биолог захотят побеседовать. Историк говорит по-русски и может говорить с математиком, хотя тот не знает ни одного русского слова. Физик, биолог и математик могут разговаривать на одном языке. Какими двумя языками владеет каждый учёный?
Решение:
Высказывания и их взаимосвязи в задаче бывают сложными, так что разобраться в них без специального аппарата достаточно трудно. Проще решать такие задачи, используя алгебру логики.
Задача 2. (газета №38 Информатика)
В деле об убийстве имеются два подозреваемых: X и Y. Допросили четырёх свидетелей.
Показания первого свидетеля: «X не виноват».
Показания второго свидетеля: «Y не виноват».
Показания третьего свидетеля: «Из двух показаний по крайней мере одно истинное».
Показания четвёртого свидетеля: «Показания третьего свидетеля ложные».
Четвёртый свидетель оказался прав. Кто же совершил убийство?
Решение.
Раз показания 3-го свидетеля ложны, то истинным будет следующее утверждение: «Не верно, что из двух показаний по крайней мере одно истинно». Т.е., ни одно из показаний первых двух свидетелей не является истинным. Следовательно, виновны и Х, и Y.
Задача 3. (газета №38 Информатика)
Виктор, Роман, Леонид и Сергей заняли на математической олимпиаде 4 первых места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:
1.Сергей – первый, Роман – второй;
2.Сергей – второй, Виктор – третий;
3.Леонид – второй, Виктор – четвертый.
Известно, что в каждом ответе только одно утверждение истинно. Как распределились места?
Решение.
Рассмотрим простые высказывания:
S1={Сергей занял первое место};
R2={Роман занял второе место};
S2={Сергей занял второе место};
V3={Виктор занял третье место};
L2={Леонид занял второе место};
V4={Виктор занял четвертое место}.
На языке алгебры логики ответы ребят можно записать следующим образом:
S1+ R2=1,
S2 + V3=1,
L2+ V4=1.
Конъюнкция истинных высказываний истинна. Следовательно, имеет место равенство:
(S1 + R2)&(S2 + V3)&(L2 + V4)=1
Преобразуем левую часть этого равенства:
(S1 & S2 + S1 & V3 + R2 & V3 + R2 & S2)&(L2 + V4)=1
(S1& (S2 + V3) & (L2 + V4) + R2 & (S2 + V3) & (L2 + V4)=1
(S1 & S2) + (S1 & V3) + (L2 & V4) + (R2 & S2) + (R2 & V3) + (L2 & V4)=1
Заметим, что
S1 & S2=0, так как Сергей не может одновременно занимать первое или второе места.
R2 & S2=0, так как второе место принадлежит одному из ребят.
0 + (S1 & V3) & (L2 + V4) + 0 + (R2 & V3) & (L2 + V4)=1
(S1 & V3) & (L2 +V4) + (R2 & V3) & (L2 + V4) = (S1 & V3 +R2 & V3) &
& (L2 + V4)
Значит,
(S1 & V3 + R2 & V3) & (L2 + V4)=1
Раскроем скобки:
S1 & V3 & L2 +S1 & V3 &V4+R2 & V3 & L2 + R2 & V3 & V4=1
Заметим,что
V3 & V4=0
R2 & L2=0
Следовательно,
S1 & V3 & V4=0,
R2 & V3 & V4=0,
R2 & V3 & L2=0.
Далее получаем:
S1 & V3 & L2 + 0 + 0 + 0 =1
S1 & V3 & L2=1
Другими словами, места на олимпиаде распределились так:
Сергей – 1-е место,
Леонид – 2-е место,
Виктор – 3-е место,
Роман – 4-е место.