1. Решить задачу алгебраическим методом:
Учитель проверил работы трех учеников: Алеши, Димы и Сашы, но не захватил их с собой. Ученикам он сказал: "Все вы написали работу и получили разные оценки. У Сашы не "5", у Димы не "4", а вот у Алеши, по-моему "4". Впоследствии оказалось, что учитель ошибься: одному ученику сказал верно, а двум другим - нет. Определите, какие оценки ученикам поставил учитель?
2. ¬Д4 - у Димы не "4";
3. А4 - У Алеши "4".
Мы знаем, что учитель одному сказал верно, другим двум нет. Тогда получаем:
С5•Д4•А4+¬С5•Д4•¬А4+С5•¬Д4•¬А4 = 1 (Истина);
Учитывая, что ученики получили разные оценки, имеем:
С5•Д4•А4 = 0 (Ложь), поскольку два ученика одновременно не могут получить "4";
С5•¬Д4•¬А4 = 0 (Ложь), так как, если Сергей получил "5", то один из двух других должен получить "4";.
Следовательно истинно только высказывание: ¬С5•Д4•¬А4
Ответ: Алеша - "5", Дима - "4",Саша - "3".
2. Решить логическую задачу алгебраическим методом:
Четыре команды: "Артек", "Сокол", "Вымпел" и "Метеор" - в спортивных соревнованиях заняли четыре призовых места, причем ни одно место не было разделено между командами. О занятых командами местами были получены три высказывания:
1. "Второе место "Сокол", а "Метеор" третье";
2. "Победителем вышел "Сокол", а "Вымпел" был вторым";
3. "Второе место занял "Артек", а "Метеор" был последним".
Какое место заняла каждая команда, если известно, что в каждом высказывании одно утверждение верно, а другое ложно?
Решение:
1. С2•М3;
2. С1•В2;
3. А2•М4.
Нам известно, что в каждом высказывании одно утверждение истинно, другое ложно. Итого получаем:
(С2•¬М3+¬С2•М3)•(С1•¬В2+¬С1•В2)•(А2•¬М4+¬А2•М4) = 1;
Используя распределительный закон получаем:
(С2•¬М3•С1•¬В2+С2•¬М3•¬С1•В2+¬С2•М3•С1•¬В2+¬С2•М3•¬С1•В2)•(А2•¬М4+¬А2•М4) = 1;
С2•¬М3•С1•¬В2 = 0, С2•¬М3•¬С1•В2 = 0, так как "Сокол" не может находиться на двух местах одновременно и на втором месте не может находиться две команды одновременно.
(¬С2•М3•С1•¬В2+¬С2•М3•¬С1•В2)•(А2•¬М4+¬А2•М4) = 1
Снова применяем распределительный закон имеем:
¬С2•М3•С1•¬В2•А2•¬М4 + ¬С2•М3•С1•¬В2•¬А2•М4 + ¬С2•М3•¬С1•В2•А2•¬М4 + ¬С2•М3•¬С1•В2•¬А2•М4= 1.
¬С2•М3•¬С1•В2•А2•¬М4 = 0, одновременно на втором месте две команды быть не может.
¬С2•М3•¬С1•В2•¬А2•М4 = 0 ¬С2•М3•С1•¬В2•¬А2•М4 = 0, "Метеор" не может занимать сразу третье и четвертое позиции.
Значит, остается только ¬С2•М3•С1•¬В2•А2•¬М4 = 1, так как дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.
Ответ: "Сокол" - 1 , "Артек" - 2, "Метеор" - 3 и "Вымпел" - 4.
3. Решить задачу маетматическим методом:
На марафонском беге были высказаны 2 прогноза о местах, которые займут спортсмены Иванов, Петров, Сидоров, реально преиендующие на призовые места.
1. Сидоров будет первым, Иванов - 2-м, Петров придет третьим.
2. Победит Иванов, Петров добежит 2-м, Сидоров - 3-й.
После соревнования оказалось, что эти спортсмены заняли три первых места, но оба предсказания оказались ложными. Ни в одном из предсказаний ни одно место не было названо правильно.
Кто какое место занял в марафонском бегу?
Решение:
1. С1•И2•П3;
2. И1•П2•С3.
Нам известно, что ни один из прогнозов не оправдался, следовательно:
¬С1•¬И2•¬П3•¬И1•¬П2•¬С3 = 1.
Если Петров не на втором и не на третьем местах, значит он пришел первый.
Так как Петров занял первое место , но Сидоров не смог прийти третим, то Сергей - второй.
Аналогично: Иванов - 3.
Ответ: Петров - 1, Сидоров - 2, Иванов - 3.